Tema investigado

 

El teorema de Ptolomeo es una relación en geometría euclidiana entre los cuatro lados y las dos diagonales de un cuadrilátero cíclico. El teorema recibe su nombre del astrónomo y matemático griego Claudio Ptolomeo.

Si un cuadrilátero está dado por sus cuatro vértices A, B, C, D, el teorema afirma que:

Esta relación puede ser expresada de manera verbal de la siguiente forma:

Demostración geométrica

1.    Sea ABCD un cuadrilátero cíclico.

2.    Note que en el segmento BC, ángulos inscritos ∠BAC = ∠BDC, y en AB, ∠ADB = ∠ACB.

3.    Ahora, por ángulos comunes △ABK es semejante a △DBC, y △ABD ∼ △KB

4.    Por lo tanto AK/AB = CD/BD, y CK/BC = DA/BD,

1.  Por lo tanto AK·BD = AB·CD, y CK·BD = BC·DA;

2.  Lo que implica AK·BD + CK·BD = AB·CD +BC·D

3.  Es decir, (AK+CK)·BD = AB·CD + BC·DA;

                                       4.  Pero AK+CK = AC, por lo tanto AC·BD = AB·CD + BC·DA; como se quería demostrar.

Note que la demostración es válida solo para cuadriláteros concíclicos simples. Si el cuadrilátero es complejo entonces K se encontrará fuera del segmento AC, y por lo tanto AK-CK=±AC, tal como se esperaba.

Existe una generalización de este teorema llamado el teorema de Casey, que involucra a cuatro circunferencias no secantes y tangentes interiores a una quinta.

El teorema de Ptolomeo se puede demostrar con métodos de inversión geométrica con respecto a cualquier vértice de un cuadrilátero.​

Ejemplo

Considérese un pentágono regular y la circunferencia circunscrita al mismo. En el cuadrilátero ABCD las diagonales son iguales al lado AD. El teorema de Ptolomeo arroja en este caso,

Dividiendo entre  se tiene

Denotando con ${\displaystyle \varphi }$ la razón b/a se obtiene ${\displaystyle \varphi ^{2}=1+\varphi }$, ecuación que coinicide con la definición de la razón dorada.

Un corolario del teorema de Ptolomeo

En todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, la suma de los productos de los pares de lados opuestos es igual al producto de sus diagonales.

Si se observa la imagen adjunta, el teorema dice que

a.c+b.d=e.f

y aquí está la demostración.

Una consecuencia inmediata de este teorema es este curioso resultado:

Dado un triángulo equilátero inscrito en un círculo y un punto P del círculo, la distancia desde el punto al vértice más distante del triángulo es igual a la suma de las distancias desde el punto a los dos vértices más cercanos.

Esto es, según la imagen adjunta,

p=m+n

La demostración es muy sencilla: aplicando el teorema de Ptolomeo al cuadrilátero ABPC, se cumple que 

a.m+a.n=a.p

y, simplificando la igualdad, obtenemos el resultado esperado.